Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Etapa 1

Aplique a fórmula da redução.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Avalie $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 3.1.2

Avalie $\ln (| \sin (x) |)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Para escrever $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.1.3.2

Combine $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Etapa 3.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Etapa 3.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Etapa 3.2.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Etapa 3.2.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Etapa 3.2.9

Subtraia $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ de $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Etapa 3.2.10

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.2.10.1

Fatore $2$ de $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Etapa 3.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Etapa 3.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Etapa 3.2.10.2.4

Divida $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ é aproximadamente $0.70710678$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 3.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.15342640 \dots$