Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - \tan (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) d x$

Etapa 4

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\ln (| \sec (x) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 5.2.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 5.2.4

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |))$

Etapa 5.2.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |})$

Etapa 5.3.2.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |})$

Etapa 5.3.2.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |})$

Etapa 5.3.2.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |})$

Etapa 5.3.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |})$

Etapa 5.3.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |})$

Etapa 5.3.2.2.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \sqrt{2} |})$

Etapa 5.3.2.4

$\sqrt{2}$ é aproximadamente $1.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$- 0.13946680 \dots$