Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 2.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 2.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 2.5.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Etapa 5.3

Multiplique $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ por $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ em $1$ e em $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Etapa 8.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Etapa 8.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Etapa 8.1.4.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Etapa 8.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Etapa 8.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Etapa 8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 3}{8}$

Etapa 8.5

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$