Cálculo Exemplos

$\int \sin^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{2}$ e $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{4} d u_{1}$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1})$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Etapa 8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2})$

Etapa 11

Simplifique multiplicando.

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Etapa 11.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{1}{16} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2

Expanda $(1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 (1 + \cos (u_{2})) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cdot 1 - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.4

Mova $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $\cos (u_{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.8

Fatore o negativo.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2.9

Eleve $\cos (u_{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2.10

Eleve $\cos (u_{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 11.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - {\cos (u_{2})}^{1 + 1} d u_{2}$

Etapa 11.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.13

Subtraia $\cos (u_{2})$ de $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2.14

Subtraia $\cos^{2} (u_{2})$ de $0$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{16} (\int d u_{2} + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 15

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{2})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 17

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 18

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 19

Deixe $u_{3} = 2 u_{2}$ . Depois, $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 19.1

Deixe $u_{3} = 2 u_{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Diferencie $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Etapa 19.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Etapa 19.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 19.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 19.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}))$

Etapa 20

Combine $\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}))$

Etapa 21

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Etapa 22

A integral de $\cos (u_{3})$ com relação a $u_{3}$ é $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)))$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Simplifique.

$\frac{1}{16} (u_{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 23.2

Simplifique.

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Etapa 23.2.1

Para escrever $u_{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 23.2.2

Combine $u_{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 23.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2 - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 23.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 \cdot u_{2} - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 23.2.5

Subtraia $u_{2}$ de $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 24

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Etapa 24.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Etapa 24.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{4}) + C$

Etapa 24.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Etapa 25

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Etapa 25.1.1.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Etapa 25.1.2

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 25.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{4}) + C$

Etapa 25.1.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.4

Combine $\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Etapa 25.5

Multiplique $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.5.1

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{\sin (8 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{16 \cdot 4} + C$

Etapa 25.5.2

Multiplique $16$ por $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{64} + C$

Etapa 26

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$