Cálculo Exemplos

$\int \sin^{7} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\sin^{6} (x)$ .

$\int \sin^{6} (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (3)} \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sin (x)}^{2 (3)}$ como exponenciação.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6

Expanda ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

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Etapa 6.1

Use o teorema binomial.

$- \int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6.2

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6.3

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6.4

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6.5

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Etapa 6.6

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Etapa 6.7

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 6.8

Mova $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 6.9

Mova os parênteses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 6.10

Mova os parênteses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 6.11

Mova $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 6.12

Mova os parênteses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 6.13

Mova os parênteses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.14

Mova $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.15

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.16

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.17

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.18

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.19

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.20

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.21

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.22

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.24

Some $2$ e $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.25

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.26

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.27

Fatore o negativo.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 6.28

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Etapa 6.29

Some $2$ e $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Etapa 6.30

Fatore o negativo.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Etapa 6.31

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Etapa 6.32

Some $4$ e $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Etapa 6.33

Reordene $1$ e $- 3 u^{2}$ .

$- \int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Etapa 6.34

Mova $1$ .

$- \int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Etapa 6.35

Reordene $- 3 u^{2}$ e $3 u^{4}$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Etapa 6.36

Mova $1$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Etapa 6.37

Mova $- 3 u^{2}$ .

$- \int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Etapa 6.38

Reordene $3 u^{4}$ e $- u^{6}$ .

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 10

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 12

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Etapa 15.2

Simplifique.

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- (- \frac{\cos^{7} (x)}{7} + \frac{3 \cos^{5} (x)}{5} - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- (- \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + \frac{3}{5} \cos^{5} (x) - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$