Cálculo Exemplos

$\int \tan^{7} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\tan^{6} (x)$ .

$\int \tan^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} \tan (x) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\tan (x)}^{2 (3)}$ como exponenciação.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 4

Use o teorema binomial.

$\int ({(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} + {(\sec^{2} (x))}^{3}) \tan (x) d x$

Etapa 5

Simplifique multiplicando.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int {(- 1)}^{3} \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\int - 1 \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.2

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\int - \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \cdot 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.6

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.7

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (x))}^{3}$ .

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Etapa 5.2.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 3} \tan (x) d x$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 8

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 10

Deixe $u_{1} = \sec (x)$ . Depois, $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{1} = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 10.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int u_{1} d u_{1} + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 12

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = \sec (x)$ . Depois, $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 13.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int {u_{2}}^{3} d u_{2} + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{3}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 15

Deixe $u_{3} = \sec (x)$ . Depois, $d u_{3} = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 15.1

Deixe $u_{3} = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 15.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 15.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 15.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int {u_{3}}^{5} d u_{3}$

Etapa 16

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{5}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{6} {u_{3}}^{6}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Simplifique.

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Etapa 17.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 17.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 17.2

Simplifique.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 {u_{1}}^{2}}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3}{2} \sec^{2} (x) - \frac{3}{4} \sec^{4} (x) + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$