Cálculo Exemplos

$\int t e^{- s t} d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Etapa 2

Combine $t$ e $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Etapa 4.2

Multiplique $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ por $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{s}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{s}$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Etapa 6

Deixe $u = - s t$ . Depois, $d u = - s d t$ , então, $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = - s t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Etapa 6.1.2

Como $- s$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- s t$ em relação a $t$ é $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- s$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{s}$ e $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{s}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{s}$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{s}$ por $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Etapa 10.2

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Etapa 10.3

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Etapa 10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Etapa 10.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Etapa 12

Reescreva $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ como $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$