Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

Etapa 1

Complete o quadrado.

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Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{1}$

Etapa 1.3.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$d = 5$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Etapa 1.4.2.1.3

Divida $100$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Etapa 1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

Etapa 3

Deixe $u = 5 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.2

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.3

Fatore $25$ de $- 25$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.4

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.6

Reescreva $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Etapa 4.2.3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Etapa 4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 5

Como $25$ é constante com relação a $t$ , mova $25$ para fora da integral.

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 11

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 12

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 13

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 14

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 15

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1

Some $1$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 17.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 18

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 19

Simplifique multiplicando.

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Etapa 19.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 20

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 21

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 23

Some $1$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 24

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 26

Some $2$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 27

Divida a integral única em várias integrais.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 28

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 29

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 30

Simplifique multiplicando.

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Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 30.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 31

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 32

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 33

Simplifique.

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34

Simplifique.

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Etapa 34.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.2

Some $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.3

Combine $25$ e $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Etapa 35

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 35.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{u}{5})$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 35.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36

Simplifique.

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Etapa 36.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 36.1.1

As funções secante e arco secante são inversos.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ é $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x + 5}{5}$ e $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5

Simplifique.

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Etapa 36.1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.3

Some $5$ e $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.5

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.7

Reescreva $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 36.1.5.7.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.7.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.5.7.3

Some $x$ e $0$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.6

Multiplique $\frac{x + 10}{5}$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.8

Reescreva $\frac{(x + 10) x}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

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Etapa 36.1.8.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.8.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.8.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.11

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ .

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Etapa 36.1.11.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{x + 5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.11.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.12

Combine $\frac{x + 5}{25}$ e $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 36.1.13.1

As funções secante e arco secante são inversos.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x + 5}{5}$ e $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5

Simplifique.

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Etapa 36.1.13.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.3

Some $5$ e $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.5

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.7

Reescreva $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 36.1.13.5.7.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.7.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.5.7.3

Some $x$ e $0$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.6

Multiplique $\frac{x + 10}{5}$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.8

Reescreva $\frac{(x + 10) x}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

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Etapa 36.1.13.8.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.8.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.8.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.13.10

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.15

Reordene os fatores em $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

Etapa 36.1.16

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

Etapa 36.2

Para escrever $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

Etapa 36.3

Combine $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

Etapa 36.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Etapa 36.5

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 36.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Etapa 36.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

Etapa 36.6

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Etapa 36.7

Reordene os fatores em $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Etapa 37

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$