Cálculo Exemplos

$\int t^{5} - 4 e^{- 10 t} d t$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t^{5} d t + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{5}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Etapa 3

Como $- 4$ é constante com relação a $t$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{- 10 t} d t$

Etapa 4

Deixe $u = - 10 t$ . Depois, $d u = - 10 d t$ , então, $- \frac{1}{10} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - 10 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- 10 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 10 t]$

Etapa 4.1.2

Como $- 10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 10 t$ em relação a $t$ é $- 10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 10 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 10$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} \frac{1}{- 10} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} (- \frac{1}{10}) d u$

Etapa 5.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int - \frac{e^{u}}{10} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 (- \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{10}$ e $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{4}{10} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $4$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 (2)}{10} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} (e^{u} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{u} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 10 t$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{- 10 t} + C$