Cálculo Exemplos

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{4}$ . Depois, $d u = \frac{1}{4} d x$ , então, $4 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

Etapa 2.3

Mova $4$ para a esquerda de $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

Etapa 4

Aplique a fórmula da redução.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Etapa 5

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Etapa 6

Reescreva $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ como $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Etapa 8.2

Multiplique $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Etapa 8.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Etapa 8.3

Multiplique $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Etapa 8.3.2

Combine $- 4$ e $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Etapa 8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Etapa 8.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$