Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Etapa 4

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = π$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $t$ em $0$ e em $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Etapa 8.2

Avalie $\sin (u)$ em $0$ e em $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Etapa 8.3

Subtraia $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Etapa 9.2

Subtraia $\sin (π)$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Etapa 9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Etapa 10.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 10.2

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Etapa 10.4

Some $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

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Etapa 10.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{π}{4}$

Forma decimal:

$- 0.78539816 \dots$