Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Etapa 1

Como $4 π$ é constante com relação a $x$ , mova $4 π$ para fora da integral.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Etapa 5

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Avalie $x$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Etapa 6.1.2

Avalie $\sin (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Etapa 6.1.3.2

Some $π$ e $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Etapa 6.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Etapa 6.3.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 6.3.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 6.3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 6.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.3.6

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.7.1

Cancele o fator comum.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.3.7.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Etapa 6.3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9

Multiplique $4 π \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 6.3.9.1

Combine $\frac{2 π}{3}$ e $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.3

Combine $\frac{8 π}{3}$ e $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.9.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Etapa 6.3.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.55335269 \dots$