Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ e $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.2

Combine.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.3

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.4

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.4.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.5

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.6

Combine.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.7

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.9

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.12

Para escrever $\frac{π^{2}}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.13

Para escrever $- \frac{π^{2}}{18}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $72$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.4.14.1

Multiplique $\frac{π^{2}}{8}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.14.2

Multiplique $8$ por $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.14.3

Multiplique $\frac{π^{2}}{18}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.14.4

Multiplique $18$ por $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.16

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.18

Para escrever $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

Etapa 4.4.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $72$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.4.19.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

Etapa 4.4.19.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Etapa 4.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Etapa 4.4.21

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Etapa 4.4.22

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Etapa 4.4.23

Subtraia $4 π^{2}$ de $π^{2} \cdot 9$ .

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Etapa 4.4.23.1

Reordene $π^{2}$ e $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Etapa 4.4.23.2

Subtraia $4 π^{2}$ de $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Forma decimal:

$0.81936379 \dots$