Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Etapa 3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

Etapa 7

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Etapa 8.2

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{π}{6}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 9.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.4

Some $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 10.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Etapa 10.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.6.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 10.6.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

Etapa 10.6.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Etapa 10.7

Some $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.8

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 10.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.8.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.9

Para escrever $\frac{\sqrt{3}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Etapa 10.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Etapa 10.12

Reordene os fatores de $\sqrt{3} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 10.13

Some $\sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$1.29903810 \dots$