Cálculo Exemplos

$\int e^{x} \sec^{2} (e^{x} - 7) d x$

Etapa 1

Deixe $u = e^{x} - 7$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = e^{x} - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{x} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - 7]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} - 7$ .

$\tan (e^{x} - 7) + C$