Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \sqrt[4]{4 x - 3} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sqrt[4]{4 x - 3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e ${(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x^{2} \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{5} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{5}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x - 3$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int u^{\frac{5}{4}} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) \frac{1}{4} d u$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5 + 4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.7

Some $5$ e $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Etapa 7.9

Multiplique $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 7.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{16} d u$

Etapa 8

Mova $3$ para a esquerda de $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} \int u^{\frac{9}{4}} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{9}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Etapa 12

Combine $\frac{4}{13}$ e $u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{3}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{3}{16}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{4}{9}$ e $u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4 u^{\frac{9}{4}}}{9} + C))$

Etapa 15.2

Simplifique.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) + C$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Para escrever $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Etapa 15.3.2

Combine $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 15.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 15.3.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.5

Combine $- 5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.6

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 10}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.7

Cancele o fator comum de $- 10$ e $5$ .

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Etapa 15.3.7.1

Fatore $5$ de $- 10$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.3.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 2}{1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 15.3.7.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 3$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} (x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{1}{52} {(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}} + \frac{1}{12} {(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}})) + C$