Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{3}{2} y - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{3}{2} y - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{2} y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $\frac{3}{2} y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{2} y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Etapa 2.3

Combine.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Etapa 6

Expanda $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Etapa 6.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Etapa 6.4

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Etapa 6.5

Reordene $- 2 u^{- 1}$ e $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Etapa 8

Como $3 y$ é constante com relação a $u$ , mova $3 y$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Etapa 11

A integral de $u^{- 1}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Etapa 12

Simplifique.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$