Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{t} (t^{6} + t - 4) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{6} + t - 4$ e $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{6} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Etapa 2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5} + 1) d t$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Etapa 3.2

Reordene $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $6$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Etapa 3.3

Reordene $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.4

Combine $6$ e $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.6

Combine $\frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $t^{5}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}} t^{5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.8

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.9

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 10}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.11.2

Some $3$ e $10$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $3$ de $12 t^{\frac{13}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 (1)} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 \cdot 1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{13}{2}}}{1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4.2.4

Divida $4 t^{\frac{13}{2}}$ por $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 t^{\frac{13}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int 4 t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \int t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{13}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Etapa 8

Combine $\frac{2}{15}$ e $t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Etapa 9

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{3}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{t^{\frac{15}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{15}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.3

Combine $4$ e $\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{15}{2}})}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Etapa 11.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Etapa 11.3.7

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 11.3.8

Para escrever $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 11.3.9

Combine $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 11.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 11.3.11

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8}{15} t^{\frac{15}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$