Cálculo Exemplos

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 1

Divida a fração $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ em duas frações.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 3

Deixe $u = - 1 - v^{2}$ . Depois, $d u = - 2 v d v$ , então, $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = - 1 - v^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 - v^{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- v^{2}$ em relação a $v$ é $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 v$

Etapa 3.1.4

Subtraia $2 v$ de $0$ .

$- 2 v$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Etapa 8

Fatore $- 1$ de $- 1 - v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Etapa 8.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Etapa 8.3

Fatore $- 1$ de $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Etapa 8.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva $- 1 (1 + v^{2})$ como $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Etapa 11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ com relação a $v$ é $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$