Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{3 - 3 y^{2}} d y$

Etapa 1

Deixe $y = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d y = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.1.5

Avalie o expoente.

$\int \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\int \sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $3$ de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $3$ de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{3 \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.6

Reordene $3$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \cos (t) \sqrt{3} \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{3} d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{3} d t$

Etapa 2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{3} d t$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{3} d t$

Etapa 3

Como $\sqrt{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\sqrt{3}$ para fora da integral.

$\sqrt{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\sqrt{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sqrt{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (y))) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (y))$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

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Etapa 15.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 15.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{4} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin (2 \arcsin (y)) + C$