Cálculo Exemplos

$\int x^{3} e^{5 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = e^{5 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{5} \cdot 3$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5} \cdot 3$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 3 \int e^{5 x} (x^{2}) d x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} \int e^{5 x} (x^{2}) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Etapa 6.4

Combine $2$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Etapa 6.5

Combine $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ e $x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{2}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{5}$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 9.2

Combine $x$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 9.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Etapa 10

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Etapa 11

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 11.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Etapa 12

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Etapa 13

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Etapa 14.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Etapa 15

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Reescreva $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ como $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

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Etapa 16.2.1

Para escrever $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Etapa 16.2.2

Combine $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 16.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} e^{5 x} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 16.2.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 5 (\frac{3}{5}) (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.5

Combine $- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.6

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 15}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

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Etapa 16.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 16.2.7.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125})}{5} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} (x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x})) + C$