Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{3} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2} \cdot 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2} \cdot 3$ para fora da integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 3 \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- 3 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Etapa 6.4

Combine $2$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x)}{2} x d x)$

Etapa 6.5

Combine $\frac{2 \sin (2 x)}{2}$ e $x$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Etapa 6.6.2

Divida $\sin (2 x) x$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) x d x)$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Etapa 8.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Etapa 8.3

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Etapa 10.2

Multiplique $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x))$

Etapa 12

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u))$

Etapa 13

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u))$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Etapa 16

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Reescreva $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$ como $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Etapa 17.2

Simplifique.

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Etapa 17.2.1

Para escrever $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 17.2.2

Combine $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 17.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 17.2.4

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{6}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 17.2.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 17.2.6.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 18

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 \frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.1.2

Simplifique.

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Etapa 19.1.2.1

Combine $3$ e $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.1.2.2

Combine $3$ e $\frac{x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.1.2.3

Multiplique $3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

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Etapa 19.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.2.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.1.3

Simplifique cada termo.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.2

Fatore $- 1$ de $- x^{3} \cos (2 x)$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.3

Fatore $- 1$ de $\frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.5

Fatore $- 1$ de $\frac{3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.7

Fatore $- 1$ de $- \frac{3 \sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.9

Reescreva $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ como $- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 19.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} - \frac{3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 19.13

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} (x^{3} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x^{2} \sin (2 x) - \frac{3}{2} x \cos (2 x) + \frac{3}{4} \sin (2 x)) + C$