Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2 \cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int 2 \sin (t) + 2 d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Etapa 5

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$2 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Etapa 7

Simplifique.

$- 2 \cos (t) + 2 t + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2})) + 2 \arcsin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + 2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + C$