Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Etapa 7.2

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $0$ e em $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 7.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Etapa 7.3.4

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 7.3.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Etapa 8.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Etapa 8.4

Some $0$ e $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Etapa 8.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 1}{2}$

Etapa 8.7

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{2}$