Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 5 \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Etapa 5

Multiplique $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $u^{5}$ por $1$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $u^{5}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Etapa 6.2.2

Some $5$ e $2$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$5 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ e $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{8}$ e $u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}$ em $\sqrt{3}$ e em $0$ .

$5 ((\frac{{\sqrt{3}}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8}) - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{6}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{3^{\frac{3}{1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$5 (\frac{3^{3}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{27}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.3

Cancele o fator comum de $27$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Fatore $3$ de $27$ .

$5 (\frac{3 (9)}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{8}$ como $3^{4}$ .

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Etapa 12.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{8}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{4}{1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.4.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{4}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.6

Para escrever $\frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.2.7.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.9.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$5 (\frac{36 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.9.2

Some $36$ e $81$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.11

Cancele o fator comum de $0$ e $6$ .

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Etapa 12.2.11.1

Fatore $6$ de $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 (0)}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.11.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0^{8}}{8}))$

Etapa 12.2.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{8}))$

Etapa 12.2.13

Cancele o fator comum de $0$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.13.1

Fatore $8$ de $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 (0)}{8}))$

Etapa 12.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.13.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Etapa 12.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Etapa 12.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{1}))$

Etapa 12.2.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + 0))$

Etapa 12.2.14

Some $0$ e $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - 0)$

Etapa 12.2.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{117}{8} + 0)$

Etapa 12.2.16

Some $\frac{117}{8}$ e $0$ .

$5 (\frac{117}{8})$

Etapa 12.2.17

Combine $5$ e $\frac{117}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 117}{8}$

Etapa 12.2.18

Multiplique $5$ por $117$ .

$\frac{585}{8}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{585}{8}$

Forma decimal:

$73.125$

Forma de número misto:

$73 \frac{1}{8}$