Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 7.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Etapa 9

Simplifique multiplicando.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2

Expanda $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.4

Mova $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.8

Fatore o negativo.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2.9

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2.10

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 9.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Etapa 9.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.13

Subtraia $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.14

Subtraia $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 13

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 15

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 17

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 17.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 17.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 17.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 17.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 17.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 17.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 17.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 17.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 17.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 17.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Etapa 18

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Etapa 19

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 20

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Etapa 21

Substitua e simplifique.

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Etapa 21.1

Avalie $u_{1}$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Etapa 21.2

Avalie $u_{1}$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Etapa 21.3

Avalie $\sin (u_{2})$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Etapa 21.4

Simplifique.

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Etapa 21.4.1

Some $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Etapa 21.4.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

Etapa 22.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

Etapa 22.3

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

Etapa 22.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 π)$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 23.1.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Etapa 23.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Etapa 23.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Etapa 23.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

Etapa 23.3

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

Etapa 23.4

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 23.5

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 23.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 23.7

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 23.8

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 23.9

Multiplique $\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Etapa 23.9.1

Multiplique $\frac{3}{8}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

Etapa 23.9.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{3 π}{16}$

Etapa 24

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 π}{16}$

Forma decimal:

$0.58904862 \dots$