Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - \cos (2 t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Etapa 2.1.2.2

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \cos (2 t)$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 2.1.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 2.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Etapa 2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 2.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Etapa 2.5.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Etapa 2.5.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.5.1.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.5.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Etapa 2.5.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.3

Multiplique $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Etapa 7

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $7$ e em $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Etapa 8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $7$ é $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{7}{5})$

Forma decimal:

$0.33647223 \dots$