Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Etapa 1

Como $18$ é constante com relação a $x$ , mova $18$ para fora da integral.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $3$ de $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Combine $\tan (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 5.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 7

Avalie $\ln (| \sec (u) |)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Etapa 9.1.4

$\sqrt{2}$ é aproximadamente $1.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Etapa 9.3

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 \ln (\sqrt{2})$

Forma decimal:

$2.07944154 \dots$