Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 8.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 8.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 8.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 9

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Etapa 11

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 12.2

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Etapa 12.3

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Etapa 13.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Etapa 13.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Etapa 13.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 13.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 14.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Etapa 14.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 14.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 14.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.14269908 \dots$

Etapa 16