Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $9$ de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $9$ de $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.4

Reescreva $9 \sec^{2} (t)$ como ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.3

Reescreva $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ como um produto.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.4

Multiplique $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ por $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.5

Multiplique $3$ por $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.6

Cancele o fator comum de $27$ e $24$ .

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Etapa 2.2.2.3.6.1

Fatore $3$ de $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.6.2.1

Fatore $3$ de $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2.3.7

Multiplique $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ por $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.2.3.8

Multiplique $3$ por $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.2.3.9

Multiplique $2$ por $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.2.3.10

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

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Etapa 2.2.2.3.10.1

Fatore $\sec (t)$ de $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.10.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Etapa 2.2.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Etapa 2.2.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Etapa 3

Como $\frac{27}{16}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{27}{16}$ para fora da integral.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 8

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Etapa 8.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Etapa 8.5

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Etapa 12

Combine $- u]_{1}^{2}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.4

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.5

Combine $- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.7.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.7.2

Some $- 6$ e $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Etapa 13.2.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Etapa 13.2.10

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.12

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Etapa 13.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.14.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Etapa 13.2.14.2

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Etapa 13.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Etapa 13.2.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Etapa 13.2.17

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 13.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Etapa 13.2.19

Some $2$ e $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 13.2.20

Multiplique $\frac{27}{16}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Etapa 13.2.21

Multiplique $27$ por $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Etapa 13.2.22

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{108}{48}$

Etapa 13.2.23

Cancele o fator comum de $108$ e $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.23.1

Fatore $12$ de $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Etapa 13.2.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.23.2.1

Fatore $12$ de $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Etapa 13.2.23.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Etapa 13.2.23.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{4}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{9}{4}$

Forma decimal:

$2.25$

Forma de número misto:

$2 \frac{1}{4}$

Etapa 15