Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Etapa 4

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 4.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Etapa 4.5

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 7.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{x \sin (π x)}{π}$ em $\frac{1}{2}$ e em $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 9.2

Avalie $- \cos (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3

Reescreva $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ como um produto.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.4

Multiplique $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.5

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.6

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 9.3.7

Para escrever $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.8

Combine $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.11

Combine $- 2$ e $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.12

Combine $π$ e $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.13

Mova $- 2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.14

Cancele o fator comum de $π$ e $π^{2}$ .

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Etapa 9.3.14.1

Fatore $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.14.2.1

Fatore $π$ de $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 9.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Etapa 10.7

Para escrever $- \frac{0}{π}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 π$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.8.1

Multiplique $\frac{0}{π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Etapa 10.8.2

Reordene os fatores de $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Etapa 10.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Etapa 10.10

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Etapa 10.11

Some $1 - \frac{2}{π}$ e $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Etapa 11.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Etapa 11.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

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Etapa 11.3.1

Multiplique $\frac{π - 2}{π}$ por $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Etapa 11.3.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Etapa 11.3.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Etapa 11.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Etapa 11.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Forma decimal:

$0.05783375 \dots$