Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 4

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 7

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Depois, $d u_{2} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 9.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Etapa 9.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Fatore $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 10

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 12.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie $\sin (u_{1})$ em $\frac{3 π}{4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Etapa 14.2

Avalie $- \cos (u_{2})$ em $\frac{3 π}{4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Etapa 14.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Etapa 15.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Etapa 15.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Etapa 15.4

Some $\sin (\frac{3 π}{4})$ e $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Etapa 15.5

Combine $\frac{1}{16}$ e $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Etapa 15.6

Para escrever $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 15.7

Combine $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ e $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Etapa 15.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Etapa 15.9

Combine $16$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Etapa 15.10

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Etapa 15.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Etapa 15.11

Multiplique $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Etapa 16.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 16.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4.4

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Etapa 16.4.5.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Forma decimal:

$0.15088834 \dots$