Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{5} \frac{1}{1 + t} d t d t$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + t$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 1 + t$ .

$u_{lower} = 1 + 3$

Etapa 1.3

Some $1$ e $3$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 1 + t$ .

$u_{upper} = 1 + 5$

Etapa 1.5

Some $1$ e $5$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{4}^{6} d t$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $6$ e em $4$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |)) d t$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}) d t$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $6$ é $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 4 |}) d t$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\ln (\frac{6}{4}) d t$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\ln (\frac{2 (3)}{4}) d t$

Etapa 5.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) d t$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) d t$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{3}{2}) d t$

Etapa 6