Cálculo Exemplos

$\int_{- 3}^{3} - \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$- (9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Etapa 5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$- 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$- \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 11.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 11.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 11.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 11.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 11.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 11.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 12

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

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Etapa 15.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 15.2

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $- π$ .

$- \frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 15.3.2

Some $π$ e $π$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 15.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.3.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 15.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Etapa 16.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Etapa 16.1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Etapa 16.1.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Etapa 16.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Etapa 16.1.2

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 16.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$- \frac{9}{2} (π + 0)$

Etapa 16.2

Some $π$ e $0$ .

$- \frac{9}{2} π$

Etapa 16.3

Combine $π$ e $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{π \cdot 9}{2}$

Etapa 16.4

Mova $9$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{9 π}{2}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{9 π}{2}$

Forma decimal:

$- 14.13716694 \dots$

Etapa 18