Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{5} \frac{3 x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{4}^{5} \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.6.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{2} = (A) (x - 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.4

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.4.1

Fatore $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{B (x - 2) (x - 3)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.4.2.4

Divida $B (x - 2) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.7

Expanda $(B x - 2 B) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x (x - 3) - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.8.1.1.1

Mova $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.8.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.8.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.8.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x - 2 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.8.2

Subtraia $2 B x$ de $- 3 B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.9

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.9.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 2.1.7.9.2

Divida $(C) {(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

Etapa 2.1.7.10

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C ((x - 2) (x - 2))$

Etapa 2.1.7.11

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Etapa 2.1.7.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Etapa 2.1.7.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.7.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.12.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.7.12.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.7.12.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Etapa 2.1.7.12.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 2.1.7.13

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

Etapa 2.1.7.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.14.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

Etapa 2.1.7.14.2

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Mova $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Etapa 2.1.8.2

Mova $6 B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x + 6 B + 4 C$

Etapa 2.1.8.3

Mova $- 3 A$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.1.8.4

Mova $- 5 x B$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} + C x^{2} - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.1.8.5

Mova $A x$ .

$x^{2} = B x^{2} + C x^{2} + A x - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B + C$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 5 B - 4 C$

Etapa 2.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Resolva $B$ em $1 = B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $B + C = 1$ .

$B + C = 1$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = A - 5 B - 4 C$ por $1 - C$ .

$0 = A - 5 (1 - C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique $A - 5 (1 - C) - 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = A - 5 \cdot 1 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 = A - 5 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Subtraia $4 C$ de $5 C$ .

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - 3 A + 6 B + 4 C$ por $1 - C$ .

$0 = - 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1

Simplifique $- 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 3 A + 6 \cdot 1 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Etapa 2.3.2.4.1.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$0 = - 3 A + 6 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Etapa 2.3.2.4.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Etapa 2.3.2.4.1.2

Some $- 6 C$ e $4 C$ .

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Etapa 2.3.3

Reordene $1$ e $- C$ .

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

Etapa 2.3.4

Resolva $A$ em $0 = A - 5 + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva a equação como $A - 5 + C = 0$ .

$A - 5 + C = 0$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Etapa 2.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$A + C = 5$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Etapa 2.3.4.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $5 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 3 A + 6 - 2 C$ por $5 - C$ .

$0 = - 3 (5 - C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Simplifique $- 3 (5 - C) + 6 - 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 3 \cdot 5 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.5.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$0 = - 15 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.2.1

Some $- 15$ e $6$ .

$0 = 3 C - 9 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.5.2.1.2.2

Subtraia $2 C$ de $3 C$ .

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.6

Resolva $C$ em $0 = C - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Reescreva a equação como $C - 9 = 0$ .

$C - 9 = 0$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $9$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = 5 - C$ por $9$ .

$A = 5 - (9)$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Simplifique $5 - (9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$A = 5 - 9$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.7.2.1.2

Subtraia $9$ de $5$ .

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Etapa 2.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = - C + 1$ por $9$ .

$B = - (9) + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Etapa 2.3.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.4.1

Simplifique $- (9) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$B = - 9 + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Etapa 2.3.7.4.1.2

Some $- 9$ e $1$ .

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

Etapa 2.3.8

Liste todas as soluções.

$B = - 8, A = - 4, C = 9$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$3 (\int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$3 (- (4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Etapa 7.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Etapa 7.5

Subtraia $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$3 (- 4 \int_{2}^{3} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - \int_{4}^{5} \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 11

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - (8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 12

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 13.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Etapa 13.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 13.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Etapa 13.5

Subtraia $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 13.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Etapa 13.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{2}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Etapa 15

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Etapa 16

Deixe $u_{3} = x - 3$ . Depois, $d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 16.1

Deixe $u_{3} = x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 16.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 16.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 16.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 16.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 16.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 16.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{3} = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Etapa 16.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 16.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{3} = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Etapa 16.5

Subtraia $3$ de $5$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 16.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 16.7

Reescreva o problema usando $u_{3}$ , $d u_{3}$ e os novos limites de integração.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 17

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Etapa 18

Substitua e simplifique.

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Etapa 18.1

Avalie $- {u_{1}}^{- 1}$ em $3$ e em $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Etapa 18.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $3$ e em $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Etapa 18.3

Avalie $\ln (| u_{3} |)$ em $2$ e em $1$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4

Simplifique.

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Etapa 18.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.3

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.4

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.4.5.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.5.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (- 4 \frac{- 2 + 3}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.7

Some $- 2$ e $3$ .

$3 (- 4 (\frac{1}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.8

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$3 (\frac{- 4}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.9

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

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Etapa 18.4.9.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$3 (\frac{2 (- 2)}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.4.9.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{- 2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.11

Para escrever $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot \frac{3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.12

Combine $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} + \frac{- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{- 2 - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.14

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 18.4.15

Para escrever $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 18.4.16

Combine $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + \frac{9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3})$

Etapa 18.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Etapa 18.4.18

Multiplique $3$ por $9$ .

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Etapa 18.4.19

Combine $3$ e $\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$ .

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Etapa 18.4.20

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 18.4.20.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Etapa 18.4.20.2

Divida $- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ por $1$ .

$- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 19.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 20.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 20.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Etapa 20.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{1})$

Etapa 20.5

Divida $2$ por $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Etapa 21

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Forma decimal:

$6.98381128 \dots$

Etapa 22