Cálculo Exemplos

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sec (y)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (y)$ como $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (y)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (y) d y$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (y)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (y)$ em relação a $y$ é $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$