Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x + 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $6$ e $1$ .

$u_{lower} = 7$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Etapa 7.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- \frac{1}{2 u^{2}}$ em $16$ e em $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Etapa 8.2.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Etapa 8.2.4

Multiplique $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Etapa 8.2.5

Para escrever $- \frac{1}{512}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Etapa 8.2.6

Para escrever $\frac{1}{98}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Etapa 8.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25088$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{512}$ por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Etapa 8.2.7.2

Multiplique $512$ por $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Etapa 8.2.7.3

Multiplique $\frac{1}{98}$ por $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Etapa 8.2.7.4

Multiplique $98$ por $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Etapa 8.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Etapa 8.2.9

Some $- 49$ e $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Etapa 8.2.10

Combine $2$ e $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $2$ por $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Etapa 8.2.12

Cancele o fator comum de $414$ e $25088$ .

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Etapa 8.2.12.1

Fatore $2$ de $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Etapa 8.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.12.2.1

Fatore $2$ de $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Etapa 8.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Etapa 8.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{207}{12544}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{207}{12544}$

Forma decimal:

$0.01650191 \dots$

Etapa 10