Cálculo Exemplos

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Multiplique $10$ por $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Etapa 1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4.6.5

Simplifique.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2.5

Simplifique.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $x$ de $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Etapa 1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Etapa 1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Etapa 1.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Etapa 1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Etapa 1.10

Combine $\frac{x + 25}{x}$ e $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Etapa 1.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.11.1

Cancele o fator comum.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Etapa 1.11.2

Divida $x + 25$ por $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Etapa 2

Como $20 p$ é constante com relação a $x$ , mova $20 p$ para fora da integral.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x + 25$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x + 25$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 3.1.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Etapa 3.3

Some $24$ e $25$ .

$u_{lower} = 49$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Etapa 3.5

Some $39$ e $25$ .

$u_{upper} = 64$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Etapa 6

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $64$ e em $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.4

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $2$ por $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.6

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.8.1

Cancele o fator comum.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 7.2.8.2

Reescreva a expressão.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Etapa 7.2.9

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Etapa 7.2.10

Multiplique $2$ por $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Etapa 7.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Etapa 7.2.12

Subtraia $686$ de $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Etapa 7.2.13

Combine $20$ e $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Etapa 7.2.14

Multiplique $20$ por $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Etapa 7.2.15

Combine $p$ e $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Etapa 7.2.16

Mova $6760$ para a esquerda de $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{6760}{3} p$

Etapa 9

Combine $\frac{6760}{3}$ e $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Etapa 10