Cálculo Exemplos

$\int_{8}^{9} x + \frac{2}{x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{8}^{9} x d x + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 \int_{8}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $9$ e em $8$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $9$ e em $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 64 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$\frac{81}{2} - 64 (\frac{1}{2}) + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.5

Combine $- 64$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 64$ e $2$ .

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Etapa 5.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 64$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{81}{2} + \frac{- 32}{1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.6.2.4

Divida $- 32$ por $1$ .

$\frac{81}{2} - 32 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.7

Para escrever $- 32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} - 32 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.8

Combine $- 32$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{81 - 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.10.1

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$\frac{81 - 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.10.2

Subtraia $64$ de $81$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Etapa 5.1.3.11

Para escrever $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.1.3.12

Combine $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + \frac{2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Etapa 5.1.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{17 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Etapa 5.1.3.14

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{17 + 4 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))}{2}$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{| 9 |}{| 8 |})}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{| 8 |})}{2}$

Etapa 5.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $8$ é $8$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Forma decimal:

$8.73556607 \dots$

Etapa 7