Cálculo Exemplos

$\int_{- 8}^{8} 8 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{- 8}^{8} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {(- 8)}^{2}$

Etapa 2.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 64$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 8^{2}$

Etapa 2.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 64$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 64$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 64^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $64$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 4096$

Etapa 6.3.2

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$u_{lower} = - 4096$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 64^{2}$

Etapa 6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Eleve $64$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 4096$

Etapa 6.5.2

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$u_{upper} = - 4096$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 4096$

$u_{upper} = - 4096$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- 2 (e^{u_{2}}]_{- 4096}^{- 4096})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Avalie $e^{u_{2}}$ em $- 4096$ e em $- 4096$ .

$- 2 ((e^{- 4096}) - e^{- 4096})$

Etapa 13.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $e^{- 4096}$ de $e^{- 4096}$ .

$- 2 \cdot 0$

Etapa 13.2.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0$

Etapa 14