Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Etapa 4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Etapa 4.4

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Etapa 4.5

Fatore o negativo.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Etapa 4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Etapa 4.7

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.8

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Etapa 4.10.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{5}{2}}$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Etapa 10.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Etapa 10.1.3

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $9$ e em $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Etapa 10.2.2

Avalie $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ em $9$ e em $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.3

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.4

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.5.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.5.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.5.4

Multiplique $4$ por $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.7

Some $- 4$ e $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.8

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.12

Multiplique $3$ por $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.13

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 10.2.3.14

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Etapa 10.2.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Etapa 10.2.3.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Etapa 10.2.3.16

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Etapa 10.2.3.17

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Etapa 10.2.3.18

Cancele o fator comum de $2$ e $24$ .

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Etapa 10.2.3.18.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Etapa 10.2.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.18.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Etapa 10.2.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Etapa 10.2.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Etapa 10.2.3.19

Para escrever $- \frac{2}{81}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Etapa 10.2.3.20

Para escrever $\frac{1}{12}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Etapa 10.2.3.21

Escreva cada expressão com um denominador comum de $324$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.21.1

Multiplique $\frac{2}{81}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Etapa 10.2.3.21.2

Multiplique $81$ por $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Etapa 10.2.3.21.3

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Etapa 10.2.3.21.4

Multiplique $12$ por $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Etapa 10.2.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Etapa 10.2.3.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.23.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Etapa 10.2.3.23.2

Some $- 8$ e $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Etapa 10.2.3.24

Para escrever $\frac{5}{36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Etapa 10.2.3.25

Escreva cada expressão com um denominador comum de $324$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.25.1

Multiplique $\frac{5}{36}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Etapa 10.2.3.25.2

Multiplique $36$ por $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Etapa 10.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Etapa 10.2.3.27

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.27.1

Multiplique $5$ por $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Etapa 10.2.3.27.2

Subtraia $19$ de $45$ .

$\frac{26}{324}$

Etapa 10.2.3.28

Cancele o fator comum de $26$ e $324$ .

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Etapa 10.2.3.28.1

Fatore $2$ de $26$ .

$\frac{2 (13)}{324}$

Etapa 10.2.3.28.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.28.2.1

Fatore $2$ de $324$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Etapa 10.2.3.28.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Etapa 10.2.3.28.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{162}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{13}{162}$

Forma decimal:

$0.08024691 \dots$

Etapa 12