Cálculo Exemplos

$\int 4 x \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$4 (x (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (x \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x))$

Etapa 5

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 7.2

Reescreva $4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ como $4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Para escrever $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 7.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 7.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 7.3.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$4 \frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 7.3.5

Combine $4$ e $\frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Etapa 9.2

Multiplique $10$ por $4$ .

$\frac{40 (x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Etapa 9.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$\frac{1}{15} (40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$