Cálculo Exemplos

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Etapa 2

Fatore $\tan^{2} (x)$ .

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Etapa 7

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Etapa 8

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Etapa 12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Etapa 12.4.2

Cancele o fator comum.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Etapa 12.4.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$