Cálculo Exemplos

$\int {(36 - 9 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{1}{{(36 - 9 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 x^{2})}^{3}}} d x$

Etapa 3

Deixe $x = 2 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique $\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.3

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.3

Fatore $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.4

Fatore $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.6

Aplique a regra do produto a $36 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{36^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.7

Eleve $36$ à potência de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.8

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 4.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.9

Reescreva $46656 \cos^{6} (t)$ como ${(216 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(216 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{216 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2 \cos (t)$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $2 \cos (t)$ de $216 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{108 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{108}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{108}$ para fora da integral.

$\frac{1}{108} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 6

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ em $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{108} \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$\frac{1}{108} (\tan (t) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{108} \tan (t) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$