Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Etapa 1.1.3

Multiplique por $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Etapa 1.1.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Etapa 1.1.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Etapa 1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int x (x - 1) d x$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Etapa 1.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Etapa 1.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Etapa 1.8

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$