Cálculo Exemplos

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3} - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Etapa 2.1.1.1.2

Fatore $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Etapa 2.1.1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Etapa 2.1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Etapa 2.1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Etapa 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Etapa 2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.7

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.1.2

Divida $A ((y + 2) (y - 2))$ por $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.2

Expanda $(y + 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.3

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.3.2

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.3.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.7

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.7.2

Divida $(B) (y (y - 2))$ por $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.9

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.10

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.11

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.13

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.13.1

Cancele o fator comum.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Etapa 2.1.8.13.2

Divida $(C) (y (y + 2))$ por $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Etapa 2.1.8.14

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Etapa 2.1.8.15

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Etapa 2.1.8.16

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Etapa 2.1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Etapa 2.1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 2.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Mova $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 2.1.9.2

Mova $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Etapa 2.1.9.3

Mova $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B + C$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 4 A$

Etapa 2.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B + C$ por $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $\frac{1}{4}$ aos dois lados da equação.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{4} - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - 2 B + 2 C$ por $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.4

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Some $2 C$ e $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5

Resolva $C$ em $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3

Divida cada termo em $4 C = \frac{1}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Divida cada termo em $4 C = \frac{1}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.5.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{1}{8}$ em cada equação.

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Etapa 2.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = \frac{1}{4} - C$ por $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.6.2.1

Simplifique $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

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Etapa 2.3.6.2.1.1

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6.2.1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.6.2.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.6.2.1.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5.5

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Etapa 2.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Etapa 2.5.7

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 8.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = y - 2$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = y - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 11.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\ln (| y |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{8}$ e $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{1}{8}$ e $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Etapa 15.5

Expanda $(y + 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Etapa 15.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Etapa 15.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.6

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 15.6.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.6.2

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.6.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.7.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Etapa 15.7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.9

Para escrever $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.10.1

Multiplique $\frac{\ln (| y |)}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.10.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Etapa 15.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Etapa 15.12

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 15.12.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Etapa 15.12.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Etapa 15.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$