Cálculo Exemplos

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Etapa 1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Etapa 2

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Etapa 3

Multiplique $- 2$ por $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Etapa 4

Deixe $u = 25 - y^{2}$ . Depois, $d u = - 2 y d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = 25 - y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $25$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $25$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 y$

Etapa 4.1.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Etapa 4.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Etapa 4.5.2

Some $25$ e $0$ .

$u_{upper} = 25$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 5.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $19600$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Fatore $2$ de $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.1.2.2.4

Divida $9800$ por $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Etapa 9.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Etapa 11

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Avalie $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $25$ e em $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Cancele o fator comum.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.3.2

Reescreva a expressão.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.5

Multiplique $2$ por $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 12.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 12.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.8.1

Cancele o fator comum.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Etapa 12.2.8.2

Reescreva a expressão.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Etapa 12.2.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Etapa 12.2.10

Multiplique $2$ por $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 12.2.11

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.11.1

Fatore $3$ de $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 12.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 12.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 12.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 12.2.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Etapa 12.2.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Etapa 12.2.13

Some $\frac{250}{3}$ e $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Etapa 12.2.14

Combine $9800$ e $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Etapa 12.2.15

Multiplique $9800$ por $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2450000}{3}$

Forma decimal:

$816666.\overline{6}$

Forma de número misto:

$816666 \frac{2}{3}$

Etapa 14