Cálculo Exemplos

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Etapa 1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Etapa 1.4

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Etapa 1.5

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Etapa 1.6

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 1.7

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Etapa 1.8

Combine $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ e $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Etapa 1.9

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Etapa 1.10

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 1.11

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 1.12

Reescreva $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como um produto.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Etapa 1.13.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.14

Multiplique $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

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Etapa 1.14.1

Combine $\tan (2 x)$ e $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Etapa 1.14.2

Combine $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ e $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Etapa 1.15

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Etapa 1.16

Separe as frações.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 1.17

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 1.18

Reescreva $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como um produto.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Etapa 1.19

Simplifique.

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Etapa 1.19.1

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Etapa 1.19.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.20

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.21

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.22

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.23

Reescreva $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como um produto.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24

Simplifique.

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Etapa 1.24.1

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24.3

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24.4

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.24.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Etapa 1.25

Multiplique $\sec^{2} (2 x)$ por $\sec (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.25.1

Mova $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Etapa 1.25.2

Multiplique $\sec (2 x)$ por $\sec^{2} (2 x)$ .

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Etapa 1.25.2.1

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Etapa 1.25.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Etapa 1.25.3

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Etapa 1.26

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Etapa 1.27

Multiplique $\sec (2 x)$ por $\sec^{3} (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.27.1

Multiplique $\sec (2 x)$ por $\sec^{3} (2 x)$ .

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Etapa 1.27.1.1

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Etapa 1.27.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Etapa 1.27.2

Some $1$ e $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \sec (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \sec (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Combine ${u_{2}}^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{3}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$