Cálculo Exemplos

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Etapa 1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Etapa 1.4

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Etapa 1.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Etapa 1.6

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Etapa 1.8

Combine $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Etapa 1.9

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Etapa 1.10

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.11

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.12

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.13.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.14

Multiplique $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

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Etapa 1.14.1

Combine $\tan (x)$ e $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Etapa 1.14.2

Combine $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ e $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Etapa 1.15

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Etapa 1.16

Separe as frações.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.17

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Etapa 1.18

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.19

Simplifique.

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Etapa 1.19.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Etapa 1.19.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.20

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.21

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.22

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.23

Reescreva $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24

Simplifique.

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Etapa 1.24.1

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24.3

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.24.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Etapa 1.25

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.25.1

Mova $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Etapa 1.25.2

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 1.25.2.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Etapa 1.25.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Etapa 1.25.3

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.26

Combine $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ e $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Etapa 1.27

Fatore $\cos^{3} (x)$ de $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Etapa 1.28

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Etapa 1.29

Some $3$ e $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.30

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.31

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{6} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.31.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{6} (x)$ .

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Etapa 1.31.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.31.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Etapa 1.31.2

Some $1$ e $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$