Cálculo Exemplos

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Etapa 1

Como $5.3$ é constante com relação a $t$ , mova $5.3$ para fora da integral.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Etapa 2

Multiplique $5.3$ por $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = w t$ . Depois, $d u_{1} = w d t$ , então, $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = w t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Etapa 3.1.2

Como $w$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $w t$ em relação a $t$ é $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $w$ por $1$ .

$w$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $w$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Etapa 3.5

Mova $5$ para a esquerda de $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Etapa 4

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{w}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{w}$ para fora da integral.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{w}$ e $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 13.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 13.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 13.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Etapa 13.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Etapa 13.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Etapa 13.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Etapa 14

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Etapa 15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Etapa 16

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Etapa 17

Combine $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Etapa 18

Substitua e simplifique.

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Etapa 18.1

Avalie $u_{1}$ em $5 w$ e em $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Etapa 18.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $10 w$ e em $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Etapa 18.3

Some $5 w$ e $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Etapa 19.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Etapa 19.3

Some $\sin (10 w)$ e $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Fatore $26.5$ de $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20.2

Fatore $2$ de $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20.3

Separe as frações.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20.4

Divida $26.5$ por $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20.5

Combine $13.25$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Etapa 20.6

Fatore $\frac{13.25}{w}$ de $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.7

Multiplique por $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.8

Fatore $13.25$ de $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.9

Separe as frações.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.10

Divida $1$ por $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.11

Divida $w$ por $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.12

Multiplique $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

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Etapa 20.12.1

Combine $0.07547169$ e $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.12.2

Combine $w$ e $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.13

Mova $0.07547169$ para a esquerda de $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Etapa 20.14

Reordene os termos.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Etapa 21

Combine $\sin (10 w)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$